对 Bourgain-Kontorovich 定理的加强

Zaremba 猜想 (1971) 指出，每个正整数 $d$ 都可以表示为有限连分数 $\frac{b}{d}=[d_1,d_2,...,d_{k}]$ 的分母（连续量），且所有部分商 $d_1,d_2,...,d_{k}$ 均被一个绝对常数 $A$ 所界定。最近（2011 年），Bourgain 和 Kontorovich 证明了关于此猜想的几个新定理。其中最简单的一个指出，满足 $A=50$ 的 Zaremba 猜想的数集在 $\N$ 中具有正比例。本文证明了同样的定理，但取 $A=7$。