关于满足Robin不等式的数、下一个反例的性质及改进的特定界

定义 $s (n) := n^{- 1} \sigma (n)$（$\sigma (n):=\sum_{d|n}d$)，且 $\omega(n)$ 为 $n$ 的素因子个数。 $s$ 的一个性质起核心作用：若 $p < q$ 为素数，且对 $a, b$ 除 $a, b \geqslant 1$ 外无特殊条件，则 $s (p^a) > s (q^b)$。该结果结合重数置换定理，将帮助我们确立Robin不等式 $s (n) < e^{\gamma} \log \log n$ 的下一个反例（记为 $c$）的性质。数 $c$ 是超丰数，且 $\omega(c)$ 必须大于一个接近十亿的数。此外，比值 $p_{\omega (c)} / \log c$ 有下界和上界。至多 $\omega(c)/14$ 个重数参数大于 $1$。最后但并非最不重要，我们应用简单方法对各类数 sharpen Robin不等式。