两平方和的 Nicolas 不等式与 Robin 不等式

1984 年，G. Robin 证明了黎曼假设成立当且仅当 Robin 不等式 $\sigma(n)<e^\gamma n\log\log n$ 对所有整数 $n>5040$ 成立，其中 $\sigma(n)$ 为约数和函数，$\gamma$ 为欧拉 - 马斯刻若尼常数。我们展示了一类广泛的自然数子集 $\cS$，使得 Robin 不等式对 $\cS$ 中除有限个 $n$ 外的所有 $n$ 均成立。作为特例，我们确定了不满足 Robin 不等式的有限个形如 $n=a^2+b^2$ 的数。事实上，我们利用 Nicolas 不等式 $n/\phi(n)<e^{\gamma}\log \log n$ 证明了上述断言；由于当 $n>1$ 时 $\sigma(n)/n<n/\phi(n)$，我们的 Robin 不等式结果随之直接得出。