偏移素数除子函数的最大阶数

对于每个正整数$n$，我们记$\omega^*(n)$为$n$的偏移素数除子数$p-1$，即 $$\omega^*(n):=\sum_{p-1\mid n}1.$$ 该函数首次由 Prachar 于1955年提出，具有在素数测试中有趣的应用并与计数 Carmichael 数密切相关。Prachar 证明了对于某个常数$c_0 > 0$, $$\omega^*(n)>\exp\left(c_0\frac{\log n}{(\log\log n)^2}\right)$$ 对无限多个$n$成立。这一结果后来被 Adleman、Pomerance 和 Rumely 改进，他们建立了一个相同形状的不等式，将$(\log\log n)^2$替换为$\log\log n$。在假设 Dirichlet $L$-函数满足广义黎曼假设时，Prachar 还证明了更强的不等式 $$\omega^*(n)>\exp\left(\left(\frac{1}{2}\log2+o(1)\right)\frac{\log n}{\log\log n}\right)$$ 对无限多个$n$成立。通过细化 Prachar 和 Adleman、Pomerance、Rumely 的论证，我们在下面的结果中改进了它们： \begin{align*} \omega^*(n)&>\exp\left(0.6736\log 2\cdot\frac{\log n}{\log\log n}\right) \quad\text{(unconditionally)},\ \omega^*(n)&>\exp\left(\left(\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+o(1)\right)\frac{\log n}{\log\log n}\right) \quad\text{(under GRH)}, \end{align*} 对无限多个$n$成立。