关于偏移素数的最大平方因子

我们证明存在无穷多素数 $p$，使得 $p-1$ 可被平方 $d^2 \geq p^\theta$ 整除，其中 $\theta=1/2+1/2000$。这改进了 Matomäki（2009）的工作，其得到 $\theta=1/2-\varepsilon$ 时的结果（附加约束 $d$ 也为素数），而后者改进了 Baier 与 Zhao（2006）在 $\theta=4/9-\varepsilon$ 时的结果。与 Matomäki 的工作类似，我们应用 Harman 筛法检测素数 $p \equiv 1 \, (d^2)$。为突破 $\theta=1/2$ 壁垒，我们借助类似于 Zhang（2014）用于获得素数关于光滑模数超出 Bombieri-Vinogradov 范围等分布性的论证，证明了一个关于光滑平方模数 $d^2$ 的新的双线性等分布估计。为优化论证，我们纳入了 Polymath 项目（2014）的技术改进。由于模数为平方，该方法产生模素数平方的完全指数和，其估计使用了 Cochrane 与 Zheng（2000）的结果。