形如 $ap^{k}+1$ 的数的素性

1876年，Edouard Lucas 证明：若存在整数 $b$ 使得对所有 $n-1$ 的素因子 $p$ 均有 $b^{n-1} \equiv 1 (\mathrm{mod} \ n)$ 且 $b^{(n-1)/p} \not\equiv 1( \mathrm{mod} \ n)$，则 $n$ 为素数，这一结果被称为 Lucas 对费马小定理的逆定理。1914年，Henry Pocklington 显著改进了该结果，他证明为了确定 $n$ 是否为素数，无需知道 $n-1$ 的所有素因子。本文针对形如 $ap^{k}+1$ 的整数（其中 $p$ 为素数，$a<p$，$k\ge 1$）优化 Pocklington 素性检验，并给出 Lucas 对费马小定理逆定理的一个推广。我们还证明了一个新的通用素性检验，该检验只需找到 $n-1$ 的一个奇素因子即可实施。与著名结论“对任意底数 $b$ 存在无穷多个费马伪素数”相反，本文证明了某些形式整数中费马伪素数的有限性。