关于 R. M. Murty 与 V. K. Murty 的一个猜想

设 $\omega^*(n)$ 为满足 $p-1$ 整除 $n$ 的素数 $p$ 的个数。近来,R. M. Murty 与 V. K. Murty 证明了 $$x(\log\log x)^3\ll\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\ll x\log x.$$ 他们进一步猜想存在某正常数 $C$ 使得当 $x\rightarrow \infty$ 时 $$\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\sim Cx\log x.$$ 在本短文中,我们通过证明 $$\sum_{n\le x}\omega^*(n)^2\asymp x\log x.$$ 给出了该和式的正确阶。