关于分母为素数的三元埃及分数

给定正整数 $n$，令 $A_k(n)$ 为满足存在 $m_1,m_2,\ldots,m_k\in {\mathbb N}$ 使得 $\frac{a}{n}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}$ 的正整数 $a$ 的个数。我们证明当 $x\rightarrow\infty$ 时，$x(\log x)^3\ll \sum_{p\le x} A_3(p)\ll x(\log x)^5$。