带限制的埃及分数

设 $T_o(k)$ 表示方程 $\sum_{i=1}^k\frac 1{x_i}=1$ 在奇数 $1<x_1<x_2<...<x_k$ 中的解的个数。显然 $T_o(2k)=0$。对于不同的素数 $p_1, p_2,..., p_t$，设 S(p_1, p_2,..., p_t)=\{p_1^{\alpha_1}...p_t^{\alpha_t}\mid \alpha_i\in \mathbb{N}_0, i=1,2,..., t}。设 $T_k(p_1,..., p_t)$ 为满足 $1<x_1<x_2<...<x_{k}$ 且 $x_i\in S(p_1, p_2,..., p_t)$ 的方程 $\sum_{i=1}^{k}\frac 1{x_i}=1$ 的解的个数。显然，如果对于某个 $k$ 有 $T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，那么 $S(p_1, p_2,..., p_t)$ 中所有大于 1 的元素 $s_j$ 的倒数和大于 1。本文我们研究 $T_o(k)$ 和 $T_k(p_1,..., p_t)$。我们的三个结果如下：1) 对所有 $k\ge 4$，$T_o(2k+1)\ge (\sqrt 2)^{(k+1)(k-4)}$；2) 如果 $S(p_1, p_2,..., p_t)$ 中所有大于 1 的元素 $s_j$ 的倒数和大于 1，则对无穷多个 $k$ 有 $T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，且这些 $k$ 的集合是有限多个等差数列的并集；3) 存在两个常数 $k_0=k_0(p_1,..., p_t)>1$ 和 $c=c(p_1,..., p_t)>1$，使得对任意 $k>k_0$，我们要么有 $T_k(p_1,..., p_t)= 0$，要么有 $T_k(p_1,..., p_t)>c^k$。