埃及分数数量的下界

埃及分数是形如 $1/n_1 + \cdots + 1/n_r$ 的和，其中 $n_1, \dots, n_k$ 是互不相同的正整数。我们证明了集合 $E_N$ 基数大小的显式下界，其中 $E_N$ 是可用分母不超过 $N$ 的埃及分数表示的有理数集合。更确切地说，我们证明了对每个满足 $\ln_k N \geq 3/2$ 的整数 $k \geq 4$，有 $$\frac{\ln(|E_N|)}{\ln 2} \geq \Big(2 - \frac{3}{\ln_k N}\Big)\frac{N}{\ln N}\prod_{j=3}^{k} \ln_j N ,$$ 其中 $\ln_k$ 表示自然对数的第 $k$ 次迭代。这改进了 Bleicher 和 Erd\H{o}s 此前的一个结果，他们在更严格的条件 $\ln_k N\geq k$ 下建立了类似的界，且前导常数为 $1$。此外，我们提供了一些计算大正整数 $N$ 对应的 $|E_N|$ 精确值的方法，并给出了 $N$ 直至 $154$ 的 $|E_N|$ 数值表。