关于有限集上拓扑的个数

我们用 $T(n)$ 表示在具有 $n$ 个元素的集合 $X$ 上可定义的不同拓扑的个数。类似地，$T_0(n)$ 表示该集合 $X$ 上不同 $T_0$ 拓扑的个数。在本文中，我们证明对任意素数 $p$，$T(p^k)\equiv k+1 \ (mod \ p)$，且对每个自然数 $n$ 存在唯一的 $k$ 使得 $T(p+n)\equiv k \ (mod \ p)$。我们对 $n=0,1,2,3,4$ 计算了 $k$。我们给出了 Z. I. Borevich 一个结果的另证，该结果即 $T_0(p+n)\equiv T_0(n+1) \ (mod \ p)$。