有限拓扑的开多项式

设 $T$ 是有限集 $X_n$ 上的一个拓扑。我们考虑与拓扑 $T$ 相关联的开多项式。其系数是大小为 $j=0,...,n$ 的开集的基数。J. Brown [4] 曾询问该多项式何时仅具有实零点。我们证明了仅在 $T$ 为离散拓扑这一平凡情况下，该多项式才具有实零点。随后，我们弱化了 Brown 的问题：对于哪些拓扑，该多项式是对数凹的，或者至少是单峰的？我们给出了部分答案。确切地说，我们证明了如果拓扑拥有大量开集，则其开多项式是单峰的。