单变量多项式与某些集合的可缩性

我们考虑首一多项式 $Q_d=x^d+\sum _{j=0}^{d-1}a_jx^j$（其中 $x\in \mathbb{R}$，$a_j\in \mathbb{R}^*$）的集合 $\Pi ^*_d$，这些多项式具有 $d$ 个互异的实根，以及通过固定系数 $a_j$ 的符号所定义的其子集。我们证明对于符号的每一种选取，相应的子集均非空且可缩。类似的结果在以下情形也成立：偶次 $d$ 的多项式 $Q_d$ 无实根，或奇次多项式恰有一个实根。对于偶次 $d$，当 $Q_d$ 恰有两个异号实根时，该子集可缩。对于偶次 $d$，当 $Q_d$ 有两个正根（或两个负根）时，该子集可缩或为空；当且仅当常数项为正、其余偶系数中至少有一个为负且所有奇系数均为正（或均为负）时，该子集为空。