关于有界根多项式分布的一个数论问题

设 $\mathcal{E}_d^{(s)}$ 表示恰好具有 $s$ 对复共轭根的压缩多项式 $x^d+a_1x^{d-1}+\dots+a_d\in \mathbb{R}[x]$ 的系数向量 $(a_1,\dots,a_d)\in \mathbb{R}^d$ 的集合，并令 $v_d^{(s)}=\lambda_d(\mathcal{E}_d^{(s)})$ 为其 ($d$ 维) Lebesgue 测度。我们解决了 Akiyama 和 Peth\H{o} 提出的一个猜想的 $s=1$ 情形，该猜想指出对于所有 $d\ge 2s$，比值 $v_d^{(s)}/v_d^{(0)}$ 均为整数。此外，我们建立了一个出奇简单的公式 $v_d^{(1)}/v_d^{(0)} = (P_d(3)-2d-1)/4$，其中 $P_d(x)$ 为 Legendre 多项式。