关于具有有界根的多项式的分布结果

对于 $d \in \mathbb{N}$，著名的 Schur-Cohn 区域 $\mathcal{E}_d$ 由所有 $d$ 维向量 $(a_1,\ldots,a_d)\in\mathbb{R}^d$ 组成，这些向量对应于首一多项式 $X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_{d-1}X+a_d$，其所有根均位于开单位圆盘内。该区域几十年来已被广泛研究。最近，Akiyama 和 Peth\H{o} 考虑了 Schur-Cohn 区域的子集 $\mathcal{E}_d^{(s)}$，这些子集对应于恰好具有 $s$ 对非实根的 $d$ 次多项式。他们特别关注这些集合的 $d$ 维 Lebesgue 测度 $v_d^{(s)}:=\lambda_d(\mathcal{E}_d^{(s)})$ 及其算术性质，并给出了一些基本结果。此外，他们提出了两个猜想，我们在本文中证明了这些猜想。具体而言，我们证明了在全复情形 $d=2s$ 下，公式 $$\frac{v_{2s}^{(s)}}{v_{2s}^{(0)}} = 2^{2s(s-1)}\binom {2s}s$$ 对所有 $s\in\mathbb{N}$ 成立；且在一般情形下，商 $v_d^{(s)}/v_d^{(0)}$ 对所有选择 $d\in \mathbb{N}$ 和 $s\le d/2$ 均为整数。我们甚至更进一步，证明了对于任意 $d\in \mathbb{N}$，$s\le d/2$，$v_d^{(s)} / v_d^{(0)}$ 的显式公式。我们证明的要素包括 Selberg 型积分、如 Cauchy 双交错行列式以及部分 Hilbert 矩阵。