随机行列式、椭球的混合体积与高斯随机场的零点

考虑一个$d\times d$矩阵$M$，其行是独立的中心非退化高斯向量$\xi_1,\ldots,\xi_d$，协方差矩阵分别为$\Sigma_1,\ldots,\Sigma_d$。记$\mathcal{E}_i$为$\xi_i$的位置-散布椭球：$\mathcal{E}_i=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d : \mathbf{x}^\top\Sigma_i^{-1} \mathbf{x}\leqslant 1\}$。我们证明$$\mathbb{E}\,|\det M|=\frac{d!}{(2\pi)^{d/2}}V_d(\mathcal{E}_1,\ldots,\mathcal{E}_d),$$其中$V_d(\cdot,\ldots,\cdot)$表示混合体积。我们还将此结果推广到矩形矩阵的情形。作为直接推论，我们得到了$\mathbb{R}^d$中$d$个任意椭球的混合体积的解析表达式。作为另一个应用，考虑一个光滑的中心非退化高斯随机场$X=(X_1,\ldots,X_k)^\top:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^k$。利用Kac-Rice公式，我们得到了$X$的零点强度在$X_i/\sqrt{\mathbf{Var} X_i}$的梯度的位置-散布椭球的混合体积方面的几何解释。这将方程组的零点集与混合体积联系起来，类似于著名的关于典型代数方程组解个数的Bernstein定理。