非负形式、子水平集体积、完全单调性与矩矩阵

设 $\mathcal{C}_{d,n}$ 为实 $n$ 元 $d$ 次形式构成的凸锥，这些形式在 $\mathbb{R}^n\setminus \{\mathbf{0}\}$ 上严格正。我们证明 $g\in \mathcal{C}_{d,n}$ 的子水平集 $\{g\leq 1\}$ 的勒贝格体积是 $\mathcal{C}_{d,n}$ 上的完全单调函数，并研究其相关性质。此外，我们给出（部分）刻画了子水平集具有有限勒贝格体积的形式。最后，我们发现了一个中心高斯分布的有趣性质，建立了其 $d$ 次矩矩阵与其协方差矩阵之逆给出的二次型之间的联系。