关于随机节点体积的绝对连续性

我们研究光滑、非退化且平稳的高斯场 $(f(x), {x \in \mathbb R^d})$ 所对应的节点体积分布相对于 Lebesgue 测度的绝对连续性。在温和条件下，我们证明在维数 $d\geq 3$ 时，节点体积的分布具有一个绝对连续分支以及一个可能的奇异部分。考虑到某些高斯过程在以正概率在某个紧区域上保持常号，该奇异部分实际上是不可避免的。我们的策略主要在于证明闭的 Kac–Rice 型公式，从而将集合 $\{f =0\}$ 的体积表示为 $(f,\nabla f,\text{Hess}(f))$ 的显式泛函的积分，进而推得随机节点体积属于某个合适的 Malliavin 梯度的定义域。著名的 Bouleau–Hirsch 准则随后给出了保证绝对连续性的条件。