流 $T_t\otimes T_{at}$ 谱的绝对连续性与奇异性

回答 V.I. Oseledets 的问题，我们给出一个随机变量 $\xi$，使得和 $\xi(x)+a\xi(y)$ 对 $(1, +\infty)$ 中稠密的一组参数 $a$ 具有奇异分布，但对另一组稠密参数，该和具有绝对连续分布。我们证明如下断言：给定 $C,D$ 为射线 $(1,+\infty)$ 上互不相交的可数稠密子集，存在一个保测流 $T_t$（作用于无限 Lebesgue 空间），使得自同构 $T_1\otimes T_{c}$ 对每个 $c\in C$ 具有简单奇异谱，而 $T_1\otimes T_{d}$ 对所有 $d\in D$ 具有 Lebesgue 谱。该流的谱测度起到了我们随机变量 $\xi$ 的分布的作用。