正齐次函数的水平集与非高斯积分
最优化与控制
2012-02-29 v3
摘要
我们研究了当 g 和 h 为正齐次函数时，子水平集 {x : g(x) ≤ 1} 的各种性质以及 h 在该子水平集上的积分。例如，后一种积分可归结为在整个空间 Rⁿ 上对 h exp(-g) 的积分（一种非高斯积分），并且当 g 为多项式时，该子水平集的体积是 g 的系数的凸函数。事实上，只要 h 非负，对于一大类函数 φ: R₊ → R，泛函 ∫ φ(g(x))h(x)dx 是 g 的凸函数。我们还提供了一种数值逼近方案来计算体积或积分 h（或等价地，逼近相关的非高斯积分）。我们还证明，寻找包含某个给定子集 K 且体积最小的子水平集 {x : g(x) ≤ 1} 是一个（困难的）凸优化问题，对此我们也提出了两种收敛的数值方案。最后，我们针对可表为平方和的多项式及特定函数的临界点，给出了非高斯积分的一个类高斯性质。
引用
@article{arxiv.1110.6632,
title = {Level sets and non Gaussian integrals of positively homogeneous functions},
author = {Jean Bernard Lasserre},
journal= {arXiv preprint arXiv:1110.6632},
year = {2012}
}