凸整非交换函数是二次或更低次多项式

本文关注（自由）非交换变量 $x = (x_1, \ldots, x_g)$ 的矩阵“凸”函数。Helton 和 McCullough 证明了若 $x$ 的多项式是矩阵凸的，则其次数为二或更低。我们证明了一个更一般的结果：若 $x$ 的函数在 $0$ 附近是矩阵凸的，并且在所有自伴矩阵元组集合的某个邻域内是“解析”的，则该函数实际上是二次或更低次多项式。更一般地，我们证明了两类非交换变量 $a = (a_1, \ldots, a_{\tilde{g}})$ 和 $x = (x_1, \ldots, x_g)$ 的函数 $F$，若在 $a$ 的“非交换开集”上关于 $x$ 是“解析”且矩阵凸的，则其为二次或更低次多项式。