具有非孤立 CR 奇点的 $\mathbb{C}^{2n}$ 中某些集合的多项式凸性与多项式逼近

在本文中，我们首先考虑 $\overline{\mathbb{D}}^{n}$ 上 $(F_1,F_{2},\cdots,F_{n})$ 的图像，其中 $F_{j}(z)=\bar{z}^{m_{j}}_{j}+R_{j}(z),j=1,2,\cdots,n$，若对某个 $j\in\{1,2,\cdots,n\}$ 有 $m_{j}>1$，则该图像具有非孤立 CR 奇点。我们证明在关于 $R_{j}$ 的一定条件下，该图像是多项式凸的，且图像上的全纯多项式逼近所有连续函数。我们还证明存在一个以原点为中心的开多圆盘 $D$，使得集合 $\{(z^{m_{1}}_{1},\cdots, z^{m_{n}}_{n}, \bar{z_1}^{m_{n+1}} + R_{1}(z),\cdots, \bar{z_{n}}^{m_{2n}} + R_{n}(z)):z\in \overline{D},m_{j}\in \mathbb{N}, j=1,\cdots,2n\}$ 是多项式凸的；并且若 $\gcd(m_{j},m_{k})=1~~\forall j\not=k$，由函数 $z^{m_{1}}_{1},\cdots, z^{m_{n}}_{n}, \bar{z_1}^{m_{n+1}} + R_{1},\cdots, \bar{z_{n}}^{m_{2n}} + R_{n}$ 生成的代数在 $\mathcal{C}(\overline{D})$ 中稠密。我们证明了闭单位多圆盘上 Minsker 定理的类似结果，即若 $\gcd(m_{j},m_{k})=1~~\forall j\not=k$，则代数 $[z^{m_{1}}_{1},\cdots, z^{m_{n}}_{n}, \bar{z_1}^{m_{n+1}},\cdots , \bar{z_{n}}^{m_{2n}};{\overline{\mathbb{D}}^{n}} ]=\mathcal{C}(\overline{\mathbb{D}}^{n})$。在证明上述结果的过程中，我们也研究了某些图像的多项式凸性与逼近。