齐次多项式的 Weierstrass 型定理

由著名的 Weierstrass 定理，代数多项式集在 $\mathbb{R}^d$ 中紧集上的连续函数空间中是稠密的。本文研究如下问题：若仅用齐次多项式逼近，稠密性是否成立？由于齐次多项式集是非线性的，这导致一个非平凡问题。容易看出：1) 稠密性可能只在对星形的原点对称曲面上成立；2) 逼近至少需要 2 个齐次多项式。星形曲面最有趣的特殊情形是凸曲面。第二作者曾猜想，$\mathbb{R}^d$ 中原点对称的凸曲面上的连续函数可用一对齐次多项式逼近。该猜想尚未解决，但我们朝其肯定解决取得了实质性进展。特别地，本文证明了上述猜想对 1) $d=2$，2) $\mathbb{R}^d$ 中具有 $C^{1+\epsilon}$ 边界的凸曲面成立。