齐次多项式的 Stone-Weierstrass 定理及其在凸几何中的作用
泛函分析
2021-07-27 v2 度量几何
摘要
我们给出中心对称的 n 维紧凸集边界的特征函数由偶次 d 齐次多项式的一致逼近，满足 |g_d-1|\leq E/d^{1/2-\beta}，其中对每个 \beta>0、足够大的 d，以及某个仅依赖于 n 和 K 的常数 E 成立。特别地，这证明了 Kroo 于 2004 年提出的一个猜想，也称为齐次多项式的 Stone-Weierstrass 定理。此外，我们通过凸体 K 在 \mathbb R^n 中的 d-Lasserre-Löwner 多项式引入 d-体积比。我们还证明了 d-体积比的上界形式为 1+F/d^{3/2-\beta}，其中对每个 \beta>0、足够大的 d，以及仅依赖于 n 的某个常数 F 成立。
引用
@article{arxiv.2012.04999,
title = {Stone-Weierstrass theorem for homogeneous polynomials and its role in convex geometry},
author = {Bernardo González Merino and Rafael Villa},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.04999},
year = {2021}
}
备注
The Theorem 1.3 and Corollary 1.4 are wrong. However, the qualitative version of Corollary 1.4 can be found recently proven in arXiv:2007.07952