L"owner-John 椭球定理的推广

我们探讨 L"owner-John 椭球问题的如下推广 $P$：给定一个（未必凸的）紧集 $K\subset R^n$ 和一个偶整数 $d$，寻找一个 $d$ 次齐次多项式 $g$，使得 $K\subset G:=\{x:g(x)\leq1\}$，且 $G$ 在所有此类集合中具有最小体积。我们证明，即使 $K$ 和 $G$ 均非凸，$P$ 也是一个凸优化问题！接着，我们证明 $P$ 具有唯一最优解，并给出了在 $K\cap G$ 中至多有 ${n+d-1\choose d}$ 个接触点的刻画。这是二次情形 $d=2$ 下 L"owner-John 定理在 $d>2$ 时的类比，但重要的是，我们既不要求集合 $K$ 也不要求下水平集 $G$ 是凸的。更一般地，还存在一个偶次 $d$ 的齐次多项式 $g$ 和一个点 $a\in R^n$，使得 $K\subset G_a:=\{x:g(x-a)\leq1\}$，且 $G_a$ 在所有此类集合中具有最小体积（但不保证唯一性）。最后，我们还概述了一种数值方案，以任意精度逼近最优值和最优解。该方案包括求解一系列具有严格凸目标函数和线性矩阵不等式 (LMI) 约束的凸优化问题层级。