凸集上同时为 $ \omega $-半凸与 $ \omega $-半凹的函数 II

在近期的一篇文章（2022）中，我们与 L. Zajíček 证明了：如果 $G\subset\R^n$ 是一个不包含具有非空内部的凸锥平移的无界开凸集，则存在 $f:G\to\R$ 和一个凹模 $\omega$ 使得 $\lim_{t\to\infty}\omega(t)=\infty$，$f$ 同时为具有模 $\omega$ 的半凸与半凹函数且 $f\notin C^{1,\omega}(G)$。在此我们改进了先前的结果如下：如果 $G$ 如上所述且 $\omega(t)=t^{\alpha}$（其中 $\alpha\in(0,1)$），则存在 $f:G\to\R$ 同时为具有模 $\omega$ 的半凸与半凹函数且 $f\notin C^{1,\alpha}(G)$。该结果对于一阶定量逆泰勒定理，以及当 $f$ 在所有直线上以相应意义光滑时 $f\in C^{1,\alpha}(G)$ 是否成立的问题具有直接推论。