矩阵单调函数与矩阵凸函数的双重堆积结构 II

我们继续[H. Osaka 与 J. Tomiyama, Double piling structure of matrix monotone functions and of matrix convex functions, Linear and its Applications 431(2009), 1825 - 1832]中的分析，其中讨论了在每个标号 $n$ 下的以下三个断言：(1) $f(0) \leq 0$ 且 $f$ 在 $[0, \alpha)$ 上是 $n$-凸的。(2) 对于每个谱包含在 $[0, \alpha)$ 中的矩阵 $a$ 以及矩阵代数 $M_n$ 中的收缩 $c$，有 $f(c^*ac) \leq c^*f(a)c$。(3) 函数 $f(t)/t$ $(= g(t))$ 在 $(0, \alpha)$ 上是 $n$-单调的。我们知道条件 (2) 和 (3) 是等价的，并且若满足 $f(0) \leq 0$ 的 $f$ 是 $n$-凸的，则 $g$ 是 $(n-1)$-单调的。在本注记中，我们考虑对 $g$ 施加若干额外条件，以得出从 (3) 到 (1) 的蕴含关系成立。特别地，我们研究了一类具有条件正 Löwner 矩阵的函数 $Q_n([0, \alpha))$，它包含了矩阵 $n$-单调函数类，并证明：若 $f \in Q_{n+1}([0, \alpha))$ 满足 $f(0) = 0$ 且 $g$ 是 $n$-单调的，则 $f$ 是 $n$-凸的。我们还讨论了 $n$-凸性的局部性质。