关于正定矩阵上函数 C --> f(det C) 的凸性

我们证明了对于 $f \in C^2(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})$，$(f \circ \det)$ 在 $\text{PSym}(n)$ 上具有凸性的一个条件，即：$f \circ \det$ 在 $\text{PSym}(n)$ 上是凸的，当且仅当对于所有 $s \in \mathbb{R}^+$，满足 $f''(s)+\frac{n-1}{ns} f'(s) \ge 0$ 且 $f'(s)\le 0$。这推广了如下观察结果：$C \to -\ln \det C$ 作为 $C$ 的函数是凸的。