Kantorovich 函数的凸性条件及相关半无限线性矩阵不等式

Kantorovich 函数 $(x^TAx)(x^T A^{-1} x)$（其中 $A$ 为正定矩阵）通常不是凸的。从矩阵/凸分析的角度来看，探讨以下问题是很有意义的：该函数何时是凸的？本文通过其矩阵的条件数研究了该函数的凸性。在二维空间中，我们证明 Kantorovich 函数凸当且仅当其矩阵的条件数以 $3+2\sqrt{2}$ 为上界，从而具有两个变量的函数的凸性可以由条件数完全刻画。该上界 `$3+2\sqrt{2}$' 被证明是任意有限维空间中 Kantorovich 函数凸性的必要条件。我们还指出，当矩阵（可以是任意维数）的条件数小于或等于 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ 时，Kantorovich 函数是凸的。此外，我们证明这一一般的充分凸性条件在三维空间中可以得到显著改进。我们的分析表明，该函数的凸性与一些现代优化主题密切相关，例如半无限线性矩阵不等式或对称矩阵的“鲁棒半正定性”。事实上，我们关于三维情况的主要结果是通过寻找某些半无限线性矩阵不等式的显式解范围来证明的。