一类与区间集相关的代数结构

F. Wehrung 曾提问：给定集合 $\Omega$ 的一族子集 $\mathcal{C}$，在何种条件下存在 $\Omega$ 上的一个全序，使得 $\mathcal{C}$ 的每个成员都是凸的？<p> 注意，若 $A$ 和 $B$ 是全序集中两个不相交为空且互不包含的凸子集，则 $A\cup B$、$A\cap B$ 和 $A\setminus B$ 也是凸的。因此令 $\mathcal{C}$ 为集合 $\Omega$ 的任意一族子集，并在每当 $A$ 和 $B$ 不相交为空且互不包含时，通过对集合 $A\cup B$、$A\cap B$ 和 $A\setminus B$ 取闭包，形成其闭包 $\mathcal{P}$。我们确定了当 $\mathcal{C}$ 从而 $\mathcal{P}$ 有限时 $\mathcal{P}$ 可能具有的形式，并针对此情形给出了存在所期望的 $\Omega$ 序的充要条件。由此我们得到一个无需有限性假设也成立的条件。<p> 我们建立了由 $n$ 元集 $\mathcal{C}$ 如上生成的子集 $\mathcal{P}$ 的基数界。<p> 我们指出了与<i>区间图</i>和<i>超图</i>理论的联系，这引出了回答 Wehrung 问题的其他方法。