椭球的 Intrinsic Volumes

我们推导了 $\mathbb R^d$（$d\ge 2$）中椭球 intrinsic volumes 用椭圆积分表示的显式公式。即，对于半长轴为 $a_1,\ldots, a_d$ 的椭球 ${\mathcal E}\subset \mathbb R^d$，我们证明对所有 $k=1,\ldots,d$ 有 \begin{align*} V_k({\mathcal E})=\kappa_k\sum_{i=1}^da_i^2s_{k-1}(a_1^2,\dots,a_{i-1}^2,a_{i+1}^2,\dots,a_d^2)\int_0^{\infty}{t^{k-1}\over(a_i^2t^2+1)\prod_{j=1}^d\sqrt{a_j^2t^2+1}}\,\rm{d}t \end{align*}，其中 $s_{k-1}$ 是第 $(k-1)$ 个初等对称多项式，$\kappa_k$ 是 $k$ 维单位球的体积。给出了低 $k$ 和高 $k$ 时 intrinsic volumes $V_k$ 的一些特别简单的公式示例。作为应用，我们导出了椭球中随机 $k$-单纯形和随机高斯 $k$-单纯形的期望 $k$ 维体积的新公式。