子水平集的内蕴体积

我们建立了一些公式，将黎曼流形上定义的函数的子水平集的内蕴体积（或称曲率测度）表示为该函数及其导数泛函的积分。例如，在欧氏情形中，若 $f \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ 且 0 是 $f$ 的正则值，则当子水平集 $M^0 = f^{-1}(]-\infty, 0])$ 紧致时，其对 $1 \leq k \leq n$ 的 $n-k$ 维内蕴体积由下式给出：\begin{equation*} \mathcal{L}_{n-k}(M^0) = \frac{\Gamma(k/2)}{2 \pi^{k/2} (k-1)!} \int_{M^0} \operatorname{div} \left( \frac{P_{n, k}(\operatorname{Hess}(f), \nabla f)}{\sqrt{f^{2(3k-2)} + \|\nabla f\|^{2(3k-2)}}} \nabla f \right) \operatorname{vol}_n \end{equation*} 其中 $P_{n, k}$ 为文中给出的多项式。这包含了作为特例的黎曼流形上子水平集的 Euler–Poincaré 特征和函数的节点体积。因此，这些公式可视为 Kac–Rice 公式的推广。最后，我们利用这些公式证明了子水平集内蕴体积的 Lipschitz 连续性。