在 $p$-adic 亚纯函数域中由首一二次多项式表示的平方

我们证明了关于在 $p$-adic 亚纯函数域中由二次多项式表示平方的一个结果，以肯定地解决该域中的 B"uchi $n$ 平方问题（即，存在常数 $M$ 使得任何由 $M$ 个（并非全部为常数）平方组成的序列 $(x_n^2)$，其二阶差分为常数序列 $(2)$，则满足 $x_n^2=(x+n)^2$ 对某个 $x$ 成立）。基于 Vojta 的工作，我们证明了特征为零的函数域的类似结果，并在 Bombieri 猜想下证明了数域的类似结果。利用 B"uchi 的一个论证，我们展示了所得结果如何改进了关于 $p$-adic 亚纯函数域和 $p$-adic 整函数环的不可判定性的一些定理。