任意域上对称多变量有理矩阵函数的贝西米尔尼 realization

本文证明了以下内容。首先，每个方阵矩阵，其条目是域 $\mathbb{F}$ 上的多变量有理函数，都有一个贝西米尔尼 realization，即是仪�补数为域 $\mathbb{F}$ 中仿射线性方阵矩阵铜的 Schur 补数。其次，如果该矩阵也是对称的且域 $\mathbb{F}$ 的特征不是 2，则它有一个对称贝西米尔尼 realization（即可以选择由对称矩阵组成的铜），并给出特征为 2 的域的反例以证明此陈述在一般情况下不成立。第三，对于特征为 2 的域（例如二进制域或布尔域），我们完全刻画了那些具有对称贝西米尔尼 realization 的函数。最后，当限制在齐次一次有理函数的类中时，类似结果也成立。为了解决这些 realization 问题，即为给定的多变量有理函数寻找此类结构化的贝西米尔尼 realization，我们使用系统论中的状态空间方法来产生仪�补数的代数运算（如求和、乘积、逆数和对称化）的 realization，这些运算成为我们构造的基本构建块。对于特征为 2 的域，进一步的复杂性导致本文大部分内容致力于开发额外的方法以决定对称 realization 问题是否可以解决，以及如果可以，为给定的对称有理矩阵函数构造对称 realization。我们讨论了在多维线性系统理论中，这些工作的动机，即对广义化的有理函数的状态空间表示进行建模，包括 Givone-Roesser 和 Fornasini-Marchesini realization。