特征 2 中的对称 Bessmertny\u{i} 实现与域扩张问题——一种微分代数方法

我们为特征 $2$ 情形下的对称 Bessmertny\u{i} 实现定理提供了一个简短的纯代数证明，该定理最近在 [EOW26] 中被证明。对称 Bessmertny\u{i} 实现是仿射线性对称矩阵束的 Schur 补，它们作为线性系统理论中的状态空间表示自然产生。与 [EOW26] 中的算法方法不同，我们使用微分代数：通过在正特征域上的多元有理函数上定义形式偏导数，并考虑其对应的常数域，我们获得了特征 $2$ 中对称和齐次对称可实现性的标量判据，有效地将矩阵值问题简化为其对角元素。作为推论，我们证明了一个关于对称和齐次对称 Bessmertny\u{i} 实现的域扩张问题的新定理。最后，在标量情形下，我们将可实现的有理函数与适当常数域上的向量空间联系起来，并量化了特征 $2$ 中反例的丰富程度。