非奇异矩阵半圆的代数特征

设 $A_1, \ldots, A_r$ 为 $n \times n$ 厄米矩阵，记 $S = \sum A_i \otimes s_i$ 为其关联矩阵半圆，其中 $s_1, \ldots, s_r$ 为自由半圆变量。我们证明以下命题等价：(i) 矩阵铜管 $A = \sum A_i x_i$ 为 LR-半简单（可通过左--右等价分解为不可分割铜管的直接和）；(ii) $S$ 在 $t = 0$ 时非奇异（矩阵型 Cauchy 变换在原点附近具有连续边界极限）；(iii) 协方 map $\eta\colon X \mapsto \sum A_i X A_i$ 为对称 DS 可扩展的（存在 $C \succ 0$ 使得 $\eta(C) = C^{-1}$）。当这些条件满足时，谱密度满足 $f(0) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{tr}(C)$，其中 $C$ 为解集 $\{W \succ 0 : \eta(W)\,W = I\}$ 中唯一的迹最小化器。该证明结合代数和分析材料。代数侧，我们建立了等价 (i) $\Leftrightarrow$ (iii) 使用 Gurvits 对不可分解映射的容量理论，并通过正定矩阵黎曼流形中的测地反射定理，将 DS 可扩展性提升为对称 DS 可扩展性，以适用于自伪完全正映射。分析侧，我们通过对 Speicher 方程在迹最小化解处的 Lyapunov--Schmidt 化简，证明 (iii) $\Rightarrow$ (ii)，显示分岔方程的雅可比矩阵为正定。这一工作消除了早期方法中必需的稳定性假设。