关于聚合 $2\times2$ 伪 Hermitian 和 PT 对称矩阵的分类与几何特征描述

已研究满足关系 $H^{\dag}G = GH$ 的非厄米矩阵 $H\in M_2(\mathbb{C})$，其中 $G$ 为可逆或奇异厄米矩阵。对于可逆的 $G$，对应的矩阵 $H$ 在文献中称为 G-伪厄米矩阵。我们将对应奇异 $G_s$ 的矩阵标记为 $G_s$-伪厄米矩阵。我们证明了所有 $2\times 2$ $G$-伪厄米矩阵都是 PT 对称的。对于给定的 $G$ ($G_s$)，所有 $G$ ($G_s$)-伪厄米 $H\in M_2(\mathbb{C})$ 被发现可以表示为一个线性 variety。进一步发现，对任意两个厄米矩阵 $G_i,G_j\in M_2(\mathbb{C})$ 且 $G_i\neq \lambda G_j$，总是存在唯一一个迹小于 $H\in M_2(\mathbb{C})$（在实数比例下），其对这两个 $G$ 矩阵都是伪厄米的。$G$-和 $G_s$-伪厄米矩阵的全集被划分为七个不同的矩阵集合，而 $M_2(\mathbb{C})$ 中所有 PT 对称矩阵被划分为四个细胞，分别记为 $S_1,S_2,S_3$ 和 $S_4$。迹为零的 G-伪厄米矩阵集合被证明可以表示为这四个细胞中三个基元素的线性组合。当 $\mathrm{Tr}(G) = 0$ 时，一个基元素来自 $S_1$，另两个来自 $S_2$。相反，当 $\mathrm{Tr}(G)\neq0$ 时，一个基元素来自 $S_1$，另两个来自 $S_4$。这些迹为零矩阵集合的行列式被证明是二次型，其中对于可逆的 $G$，可能是两片单曲面、一片单曲面、椭球或二次锥；而对于奇异的 $G_s$，则是两个平行平面或一个平面。最后，给定特定的 $H\in M_2(\mathbb{C})$，满足 $H^{\dagger}G = GH$ 的所有矩阵 $G\in M_2(\mathbb{C})$ 被证明可以用二次 variety 来描述。