伪厄米特性、反伪厄米特性与例外点的广义parity-time 反演对称性

对于作用于可分离希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 上的对角化线性算子 $H:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$，即具有纯点谱、特征值有限代数重数以及构成 $\mathscr{H}$ 的 Riesz 基的特征向量集合的算子，$H$ 的伪厄米特性等价于其广义parity-time 反演（$PT$）对称性，其中后者意味着存在满足 $[X,H]=0$ 且 $X^2=1$ 的反线性算子 $X:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$。{该结果的原始证明利用了每个对角化算子 $L:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$ 的反伪厄米特性，即存在满足 $L^\dagger=\tau L\,\tau^{-1}$ 的反线性厄米特双射 $\tau:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$。我们推广了该结果至块对角化算子，即具有纯点谱、特征值有限代数重数以及构成 $\mathscr{H}$ 的 Jordan Riesz 基的特征向量集合的算子。{这使我们能够将原先针对对角化算子的伪厄米特性与广义 $PT$ 对称性等价性的原证明推广至块对角化算子。对于分别作用于二维维和无限维希尔伯特空间的两个伪厄米特算子，我们获得了在例外点及其外的反线性算子 $\tau$ 和 $X$ 的显式表达式，以实现其反伪厄米特性和广义 $PT$ 对称性。