矩阵空间、矩阵元组与多重线性映射的相合

若对某个非奇异的 $S$ 和 $R$ 有 $SVR=W$，则称两个矩阵向量空间 $V,W\subset \mathbb C^{n\times n}$ 等价。若 $R=S^T$，则这些空间相合。我们证明，若 $V$ 和 $W$ 中所有矩阵均为对称矩阵，或 $V$ 和 $W$ 中所有矩阵均为斜对称矩阵，则 $V$ 和 $W$ 相合当且仅当它们等价。设 $F: U\times\dots\times U\to V$ 和 $G: U'\times\dots\times U'\to V'$ 是 $\mathbb C$ 上的对称或斜对称 $k$-线性映射。如果存在一组线性双射 $\varphi_1,\dots,\varphi_k:U\to U'$ 和 $\psi:V\to V'$ 将 $F$ 变换为 $G$，则存在这样一组满足 $\varphi_1=\dots=\varphi_k$ 的映射。