对称或交错矩阵空间上的值域相容同态

设 $U$ 和 $V$ 是任意域 $\mathbb{K}$ 上的有限维向量空间，$\mathcal{S}$ 为从 $U$ 到 $V$ 的所有线性映射空间 $\mathcal{L}(U,V)$ 的一个线性子空间。若映射 $F : \mathcal{S} \rightarrow V$ 满足对所有 $s \in \mathcal{S}$ 有 $F(s) \in \mathrm{im}(s)$，则称其为值域相容（range-compatible）映射。值域相容映射中包含所谓的局部映射，即形如对固定向量 $x \in U$ 有 $s \mapsto s(x)$ 的映射。在近期工作中，我们已对当 $\mathcal{S}$ 在 $\mathcal{L}(U,V)$ 中余维较小时的值域相容群同态进行了分类。在本文中，我们研究 $\mathcal{S}$ 为所有 $n$ 乘 $n$ 对称矩阵空间 $S_n(\mathbb{K})$ 的线性子空间这一特殊情形：我们证明若 $\mathcal{S}$ 在 $S_n(\mathbb{K})$ 中的余维小于等于 $n-2$，则每个值域相容同态都是局部的，前提是 $\mathbb{K}$ 的特征不为 $2$。在同样的余维假设下，我们还对 $\mathbb{K}$ 特征为 $2$ 时 $\mathcal{S}$ 上的值域相容同态进行了分类。最后，我们证明若 $\mathcal{S}$ 为所有元素属于 $\mathbb{K}$ 的 $n$ 乘 $n$ 交错矩阵空间 $A_n(\mathbb{K})$ 的线性子空间，且其丛维小于等于 $n-3$，则每个值域相容同态都是局部的。