不同维数复空间中实超曲面间全纯映射的横截性

我们考虑光滑实超曲面 $M\subset \mathbb{C}^{n+1}$ 与另一个 $M'\subset \mathbb{C}^{N+1}$（其中 $N\geq n$）之间的全纯映射 $H$。我们给出了保证 $H$ 沿整个 $M$ 横截于 $M'$ 的条件。在严格拟凸情形下，这是众所周知的，并可由经典的Hopf边界引理得出。在等维情形（$N=n$）下，根据作者最近的结果（另见第一作者与L. Rothschild此前的一篇论文），只要源是有限型的，具有满一般秩的映射就具有横截性。在正余维情形（$N>n$）下，情况更为微妙，正如例子所轻易表明的那样。在S. Baouendi、第一作者和L. Rothschild最近的工作中，给出了保证映射 $H$ 在 $M$ 的一个真子簇外横截的条件，并给出了例子表明横截性在某些点可能失效。本文的一个结果意味着，如果 $N\le 2n-2$，$M'$ 是Levi非退化的，且 $H$ 在一个余维为2的复子簇外具有极大秩，则 $H$ 在 $M$ 的所有点都横截于 $M'$。我们通过例子表明，如果 $N\geq 2n$，或者 $H$ 非极大秩的点集 $W_H$ 具有余维1，则此结论一般不成立。我们还证明，如果假设 $H$ 是有限映射（这允许 $W_H$ 具有余维1）且更强的不等式 $N\leq 2n-3$ 成立，则在 $M$ 是有限型的条件下，$H$ 在所有点都横截。