有界同调理论中的顺从性与无圈性

Johnson 对顺从群的描述指出：离散群 $\Gamma$ 是顺从的当且仅当对所有对偶赋范 $\mathbb{R}[\Gamma]$-模 V 有 $H_b^{n \geq 1}(\Gamma; V) = 0$。本文将先前结果推广到同态，通过证明映射定理的逆定理：满群同态 $\phi \colon \Gamma \to K$ 具有顺从核 H，当且仅当对所有对偶赋范 $\mathbb{R}[\Gamma]$-模 V，所诱导的上膨胀映射 $H^\bullet_b(K; V^H) \to H^\bullet_b(\Gamma; V)$ 是等距同构。此外，我们对（更小的）一类满群同态 $\phi \colon \Gamma \to K$ 获得了类似刻画，该类同态的性质是有界同调中的膨胀映射对所有 Banach $\Gamma$-模均为等距同构。最后，我们还证明了（更大的）一类有界无圈同态的刻画，即满足如下条件的群同态 $\phi \colon \Gamma \to K$：对一族合适的对偶赋范 $\mathbb{R}[K]$-模 V（含平凡 $\mathbb{R}[K]$-模 $\mathbb{R}$），有界同调中的限制映射 $H^\bullet_b(K; V) \to H^\bullet_b(\Gamma; \phi^{-1}V)$ 为同构。随后我们将第一与第三个结果推广到拓扑空间，并依据其同伦纤维在适当系数下有界同调的消没，获得了顺从映射与有界无圈映射的刻画。