线性映射系统的 Specht 判据

W.Specht (1940) 证明了两个 $n\times n$ 复矩阵 $A$ 和 $B$ 酉相似当且仅当对两个非交换变量中的每个字 $w(x,y)$ 均有 $\operatorname{trace} w(A,A^{\ast}) = \operatorname{trace} w(B,B^{\ast})$。我们将他的判据以及 N.A.Wiegmann (1961) 和 N.Jing (2015) 的推广扩展到由复或实内积空间及它们之间的线性映射构成的任意系统 $\mathcal A$。我们用有向图 $Q(\mathcal A)$ 表示此类系统，其顶点为内积空间，箭头为线性映射。记 $\widetilde Q(\mathcal A)$ 为将伴随线性映射扩充到 $Q(\mathcal A)$ 所得的有向图。我们证明了系统 $\mathcal A$ 通过其空间的等距变换为系统 $\mathcal B$ 当且仅当 $\widetilde Q(\mathcal A)$ 与 $\widetilde Q(\mathcal B)$ 中所有闭合有向行走的迹重合。