Bergeron、Ceballos与Labbé猜想的证明

给定Coxeter群$(W, S)$中元素$w$的简约表达式可视为有向图$\mathcal{R}(w)$的顶点；其弧对应于辫子变换。具体地，当$b$由$a$通过将给定的形如$stst...$的连续子词（对某些不同的$s, t \in S$）替换为$tsts...$（两个子词长度均为$m_{s, t}$，即$st$在$W$中的阶）得到时，存在一条从简约表达式$a$到简约表达式$b$的弧。我们证明了该图$\mathcal{R}(w)$的一个强二分类型结果：不仅$\mathcal{R}(w)$的每个圈长度均为偶数；实际上，$\mathcal{R}(w)$的弧可被染色（颜色对应于所用辫子变换的类型），且每种颜色$c$对应一种“相反”颜色$c^{\operatorname{op}}$（对应于颜色$c$的辫子变换的逆），并且对于任意颜色$c$，在$\mathcal{R}(w)$的任一给定圈中具有属于$\left\{c, c^{\operatorname{op}}\right\}$颜色的弧的数量为偶数。这是对Bergeron、Ceballos与Labbé于2014年结果的推广与加强。我们陈述了进一步的猜想性推广。