孪宽 VI：收缩序列的视角

图的收缩序列指迭代合并其两个顶点直至仅剩一个顶点。最近引入的孪宽图不变量即基于收缩序列。更确切地说，若在两个代表非齐次子集的顶点间连红边，则孪宽是使某收缩序列保持红度至多为 $d$ 的最小整数 $d$。通过改变施加于三图（即某些边为红的图）的条件，并可能对收缩概念稍作调整，我们展示了如何用收缩序列刻画公认的有限秩宽、树宽、线性秩宽、路径宽以及恰当minor闭类。作为一个应用，我们给出了著名的 Courcelle 定理（实为其由 Courcelle、Makowsky 与 Rotics 推广的版本）的透明另证：在树宽有界（相应秩宽有界）图上 MSO$_2$（相应 MSO$_1$）模型检测的复杂度关于输入句子大小为固定参数可处理。我们随后沿收缩序列这一总主题探索新途径，既为细化树宽有界与孪宽有界之间的图景（经由生成孪宽），也为刻画比孪宽有界更一般的类。为此，我们定义孪宽的有向版本：出现的红边由新收缩顶点向外定向，且仅需红出度有界。令人惊讶的是，有向孪宽有界的类与孪宽有界的类重合。最后我们从算法角度考察部分收缩序列概念，其中序列不再终止于单顶点图，而在达到特定目标类时结束。