孪宽 III:最大独立集、最小支配集与着色

我们近期引入了图不变量孪宽,并证明对于给定见证孪宽至多为 $d$(称为 $d$-收缩序列或 $d$-序列)的 $n$-顶点图以及大小为 $k$ 的公式,一阶模型检测可在时间 $f(d,k)n$ 内求解[Bonnet 等人,FOCS '20]。如此一般的结果所不可避免付出的代价是 $f$ 为高度约 $k$ 的指数塔。在本文中,我们表明基于孪宽的算法未必不实用。我们给出了在提供 $O(1)$-序列时,$k$-独立集、$r$-散布集、$k$-团和 $k$-支配集的 $2^{O(k)}n$ 时间算法。我们进一步展示了如何在时间 $2^{O(k \log k)}n$ 内求解加权 $k$-独立集、子图同构和诱导子图同构。这些算法基于沿收缩序列向前推进的动态规划方案。接着我们展示了收缩序列的第二种算法用途,即从序列末端开始逆向回放。作为一个例子,我们确立了有界孪宽类是 $\chi$-有界的。这显著扩展了有界秩宽类的 $\chi$-有界性,且证明极为简洁。孪宽的第三种算法用途建立于第二种之上。逆向播放收缩序列,我们展示有界孪宽图可被边划分为线性数量的二分图,使得二分图的两侧在固定顶点排序中处于连续顶点上。给定该二分图边划分,我们展示如何以次线性时间 $O(n \log n)$ 和 $O(n^2 \log n)$ 分别求解无权单源最短路径及进而所有点对最短路径。最后我们展示最小支配集及相关问题在有界孪宽类上具有常数整数间隙,从而在这些类上获得常数近似。