约化带宽： Minor-闭类（及更广类）中 twin-width 的定性强化

在图的归约序列中，顶点被依次识别直至图只剩一个顶点。每一步当识别 $u$ 和 $v$ 时，恰与 $u$ 和 $v$ 中之一关联的每条边被染红。Bonnet、Kim、Thomassé 和 Watrigant [J. ACM 2022] 将图 $G$ 的 twin-width 定义为最小整数 $k$，使得 $G$ 存在一个归约序列，其中每个红图的最大度至多为 $k$。对任意图参数 $f$，我们定义图 $G$ 的约化 $f$ 为最小整数 $k$，使得 $G$ 存在一个归约序列，其中每个红图的 $f$ 至多为 $k$。我们关注具有有界约化带宽的图类，它蕴含且强于有界 twin-width（约化最大度）。我们证明每个真 minor-闭类具有有界约化带宽，这比 Bonnet 等人关于有界 twin-width 的类似结果在定性上更强。在许多情形下，我们也做了定量改进。例如，所有先前关于平面图 twin-width 的上界都至少为 $2^{1000}$。我们证明平面图具有至多 $466$ 的约化带宽和至多 $583$ 的 twin-width。我们对欧拉亏格 $\gamma$ 的图的界为 $O(\gamma)$。最后，我们证明真 minor-闭类中图的固定幂具有有界约化带宽（与顶点度数无关）。特别地，我们证明欧拉亏格 $\gamma$ 的地图图具有 $O(\gamma^4)$ 的约化带宽。最后，我们通过证明任何排除固定完全二部子图的无限扩张图类具有无界约化带宽，而存在 twin-width 至多为 6 的有界度扩张图类，从而分离了 twin-width 与约化带宽。