平面图的对偶宽度至多为 8 及若干相关上界
组合数学
2023-12-08 v5 离散数学
摘要
对偶宽度(twin-width)是由 Bonnet、Kim、Thomassé 和 Watrigant [FOCS 2020] 提出的一种结构宽度参数,在图逻辑与参数化算法领域有有趣的应用。非常简要地说,对偶宽度的本质在于将给定图逐步收缩(收缩序列)至单个顶点,同时保持顶点邻域的有限差异,它可视为广泛推广了若干其他传统结构参数。尽管已知许多自然图类的对偶宽度有界,但在非平凡情形下已发表的对偶宽度上界往往“天文数字般巨大”。我们聚焦于平面图,自对偶宽度提出以来即已知其有界,但首个明确的“非天文数字”上界出现颇费了一些时日。按预印本出现顺序,先是 Jacob 与 Pilipczuk [arXiv, 2022 年 1 月] 给出的至多 183 的上界,以及 Bonnet、Kwon 与 Wood [arXiv, 2022 年 2 月] 给出的 583。2022 年随后的 arXiv 稿件将上界改进至 37 (Bekos 等)、11 与 9 (均为 Hliněný)。我们进一步阐发后一稿件所用方法,证明每个平面图的对偶宽度至多为 8,并在线性时间内构造出见证收缩序列。注意当前最佳下界平面图例子由 Král 与 Lamaison [arXiv, 2022 年 9 月] 给出,其对偶宽度为 7。我们还证明了二部平面图与 1-平面图(分别为 6 与 16)以及地图图(map graphs)(38)的对偶宽度的较小明确上界。所有这些结果的共通之处在于使用了一种新颖的专门构造的平面图递归分解,其或许在其他领域也有用处。
引用
@article{arxiv.2210.08620,
title = {Twin-width of Planar Graphs is at most 8, and some Related Bounds},
author = {Petr Hliněný and Jan Jedelský},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.08620},
year = {2023}
}