有界度多项式对多边形区域的描述

我们证明，$R^2$ 中任意（可能无界）具有 $m$ 条边的凸多边形 $P$ 都可以用不等式 $p_1 \ge 0,...,p_n \ge 0$ 表示，其中 $p_i$ 是至多 $k$ 个仿射函数的乘积，每个仿射函数在 $P$ 的一条边上为零，且 $n=n(m,k)$ 满足 $s(m,k) \le n(m,k) \le (1+\epsilon_m) s(m,k)$，其中 $s(m,k):=\max \{m/k,\log_2 m\}$，且当 $m \to \infty$ 时 $\epsilon_m \to 0$。这种 $n$ 的选择是渐近最优的。我们还给出了将 $P$ 的内部表示为 $p_1 > 0,..., p_n > 0$ 形式的类似结果。对于 $k \le m/\log_2 m$，这些结论对于次数不超过 $k$ 的任意多项式的表示仍然成立。