函数域上Büchi问题的类似

Büchi $n$ 平方问题要求寻找一个整数 $M$，使得任意序列 $(x_0,...,x_{M-1})$，若其平方的二阶差分为常数序列 $(2)$（即对所有 $n$ 满足 $x^2_n-2x^2_{n-1}+x_{n-2}^2=2$），则对某个整数 $x$ 满足 $x_n^2=(x+n)^2$。关于 $r$ 次幂（其中 $r$ 为整数 $\geq2$）的 Hensley 问题是 Büchi 问题的推广，要求寻找一个整数 $M$，使得在给定整数 $\nu$ 和 $a$ 时，量 $(\nu+n)^r-a$ 对 $M$ 个或更多个整数 $n$ 的值不能是 $r$ 次幂，除非 $a=0$。这些问题对于函数环的类似仅考虑至少包含一个非常数项的序列。设 $K$ 为亏格为 $g$ 的曲线的函数域。我们证明了如果 $K$ 的特征为零，则对于任意 $r$，关于 $r$ 次幂的 Hensley 问题都有肯定的答案，改进了 Pasten 和 Vojta 的结果。在正特征 $p$ 下，我们得到了一个较弱的结果，但这足以证明如果 $p\geq 312g+169$，Büchi 问题有肯定的答案（改进了 Pheidas 和第二作者的结果）。